Tutti i corpi celesti sono in caduta libera, ognuno verso un centro gravitazionale più intenso.
La causa dei moti celesti è la gravità. Il movimento che un corpo può compiere in un campo gravitazionale è descritto dal secondo principio di Newton. Il tipo di moto è determinato dalla velocità iniziale del corpo quando entra in un campo gravitazionale.
Quando un oggetto cade liberamente, la sua velocità iniziale determina la sua traiettoria.
La forza di gravità tra la Terra e un corpo sulla sua superficie si riduce alla forza peso.
\[
F = \frac{m M}{r^2}G \rightarrow F=m \cdot g
\]
Il secondo principio di Newton ci dice che per un corpo soggetto alla sola forza peso, con velocità iniziale nulla,
\[
F = m g = m a \rightarrow a = g
\]
Il risultato è un’accelerazione costante uguale all’accelerazione di gravità terrestre, g, e il moto è puramente verticale (avviene in una dimensione). Un esempio potrebbe essere una mela che si stacca dall’albero e cade (trascurando l’attrito con l’aria).
La matematica si complica se la forza di gravità non coincide con la forza peso e viene espressa in forma generale
\[
F=\frac{m \cdot M}{r^2}G
\]
La difficoltà sta nel fatto che la forza di gravità è una funzione non lineare della distanza tra i due corpi. La distanza può cambiare nel tempo.
Inserendo una forza non lineare nell’equazione di Newton, si ottiene un’equazione non lineare e trovare una soluzione generale diventa matematicamente più ostico rispetto al caso della forza peso, che è costante nel tempo.
Inserendo la legge di gravitazione universale nel secondo principio di Newton si ottiene un’equazione che descrive il moto di un qualsiasi corpo soggetto alla forza di gravità,
\[
F=\frac{m \cdot M}{r^2}G = m \cdot a \rightarrow a=\frac{M}{r^2}G
\]
L’equazione ha diverse soluzioni: le orbite.
Per simulare le traiettorie possibili, immaginiamo di sparare una palla di cannone da un’altura con diverse velocità iniziali.
Iniziamo l’analisi delle dinamiche possibili di un corpo in presenza della sola forza di gravità. Si ricorda che le differenze sono determinate dalla velocità iniziale del corpo in caduta.
Moto di Caduta Verticale
Il caso più semplice è quello in cui il cannone è posizionato lungo la verticale (direzione parallela al raggio della Terra). La velocità iniziale della palla è direzionata lungo la verticale.
La palla di cannone proseguirà dritta verso l’alto, non appena la gravità avrà consumato la componente di velocità iniziale, tornerà a Terra lungo la stessa traiettoria, in perfetta simmetria.
In assenza di attrito con l’aria e a parità di velocità iniziale, qualsiasi corpo percorrerà la traiettoria verticale nello stesso tempo.
Moto Parabolico
Un caso leggermente più complicato si ha quando il cannone è inclinato di un angolo $\alpha \neq 0$ rispetto alla verticale. Il moto avviene in due dimensioni e la traiettoria sarà parabolica.
La velocità iniziale ha due componenti $v_{0x},v_{0y}$, una lungo la verticale e una lungo la direzione orizzontale. La componente lungo la verticale (y) avrà la stessa dinamica del moto di caduta verticale, mentre lungo la direzione orizzontale (x), non essendoci forze, la componente di velocità si conserva fino al punto di impatto con la Terra.
Per esempio, una partita di tennis si può ridurre ad una competizione basata sul moto parabolico più efficiente per mettere in difficoltà l’avversario. Più in generale, la maggior parte degli sport si basano su traiettorie paraboliche e la loro dinamica è governata dalla forza di gravità.
Moto Circolare, Ellittico, Iperbolico
Mantenendo il cannone alla stessa inclinazione scelta per ottenere il moto parabolico e aumentando enormemente l’energia dell’esplosione, si può mandare la palla di cannone in orbita.
Una velocità iniziale sufficientemente elevata permette al sistema di mancare perennemente la Terra durante la fase di discesa. Sono la dimensione finita della Terra e il suo campo gravitazionale, che si estende ben oltre l’atmosfera, a permettere alla palla di cannone (o alla Luna) di cadere perennemente.
Per entrare nei dettagli matematici è richiesta una buona dose di coraggio. Per il momento, ci accontentiamo di distinguere le più semplici traiettorie possibili. Se l’energia iniziale della palla di cannone è appena sufficiente ad entrare in orbita il suo moto sarà circolare. Aumentando l’energia, il suo moto diventerà ellittico. Aumentando ancora la velocità iniziale, la palla di cannone sfuggirà al campo gravitazionale terrestre in una traiettoria iperbolica.
Tra gli esempi più noti per i rispettivi moti abbiamo:
- circolare: satelliti geostazionari (meteo, comunicazioni, …)
- ellittico: Luna, Terra e pianeti del sistema solare, Sole attorno al centro galattico della Via Lattea, alcune comete
- iperbolico: molte comete (più difficili da monitorare, in quanto a traiettoria iperbolica)
Per approfondire i moti celesti, si consiglia la visione del seguente breve video sulle tre leggi di Keplero.
A che velocità si dovrebbe sparare la palla di cannone affinché esca dal campo gravitazionale terrestre?
Essendo la gravità una forza conservativa, gli si può associare un’energia potenziale
\[
F=-\frac{m \cdot M}{R}G
\]
dove M e R sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra, mentre m è la massa di un corpo sulla superficie terrestre (immerso nel campo gravitazionale).
I sistemi soggetti a sole forze conservative (in questo caso trascuriamo l’attrito dell’aria) subiscono una dinamica che conserva l’energia. Nell’istante in cui la palla di cannone viene sparata la sua energia è la somma dell’energia cinetica di movimento e dell’energia gravitazionale che la trattiene a Terra.
\[
E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{m \cdot M}{R}G
\]
Per sfuggire alla gravità, la palla di cannone, m, avrà bisogno di un energia cinetica che compensa la gravità. Quindi,
\[
v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}
\]
ovvero la velocità per sfuggire al campo gravitazionale della Terra. Si noti che la massa m della palla di cannone si semplifica, in perfetta analogia con i moti di caduta libera trattati negli articoli precedenti. Se trascuriamo l’attrito con l’aria, la velocità di fuga da un corpo celeste non dipende dalla massa del corpo che si vuole lanciare.
Sostituendo la massa e il raggio di un altro corpo celeste (Luna, Sole, …) possiamo trovare il relativo valore di velocità di fuga. Inserendo massa e raggio della Terra, la velocità di fuga risulta essere di circa 11.2 km/s, poco più di 40.000km/h.
Riassumendo, un corpo soggetto alla sola forza di gravità si trova in caduta libera. A seconda della velocità iniziale con cui il corpo entra in un campo gravitazionale, si possono verificare diverse traiettorie: da una semplice caduta verticale ad un moto ellittico o iperbolico.
La velocità per sfuggire ad un campo gravitazionale dipende dalla massa e dal raggio della sorgente e non dalla massa del corpo che deve sfuggire.
Per consolidare le conoscenze acquisite, si propone lo svolgimento del seguente quiz.
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