Nel vasto palcoscenico della Fisica, il concetto di simmetria è un pilastro fondamentale che influenza profondamente le leggi che governano il nostro Universo.
Le leggi fondamentali, inclusa l’equazione di Newton, sono simmetriche sotto trasformazioni temporali. Lo scorrere del tempo non altera il modo in cui le forze agiscono sui corpi e sulla loro dinamica. La Fisica è la stessa indipendentemente dal momento in cui si osserva un sistema.
Le simmetrie temporali sono alla base della conservazione dell’energia e dell’evoluzione dell’Universo stesso, inoltre, ci offrono uno spiraglio affascinante sulla struttura intima del tempo.
Nella visione newtoniana, il tempo è trattato come una variabile astratta, misurabile indirettamente attraverso il movimento (fenomeni periodici) e assume i valori di una retta in ordine crescente.
Newton ha introdotto il tempo come grandezza fondamentale, distinta dallo spazio, che trascorre in modo uniforme e imperturbabile. Questa concezione fornisce un contesto matematico per descrivere il movimento e il cambiamento nei sistemi fisici, permettendo la formulazione di una legge del moto.
La rappresentazione di Newton trova conferma nell’esperienza quotidiana e coincide con la nostra concezione del tempo.
Il tempo scorre inarrestabile, come un fiume, ed è rappresentato dalla variabile astratta “t” che entra nelle equazioni. Il suo scorrere è assoluto ed è rappresentato con una retta da cui, istante dopo istante, attinge i suoi valori.
Ogni volta che in Fisica si introducono variabili astratte, le equazioni, che invece devono rispecchiare la realtà tangibile, presentano delle simmetrie.
L’introduzione di variabili astratte, come il tempo, nella formulazione delle equazioni fa emergere delle simmetrie temporali. Le leggi fisiche rimangono invariate sotto due tipi di trasformazioni temporali.
Scrivendo l’equazione di Newton in forma differenziale,
\[
F = m a \rightarrow F = m \frac{dv}{dt} = m \frac{d^2x}{dt^2}
\]
si possono identificare due simmetrie temporali.
Traslazioni Temporali
Due osservatori che iniziano a cronometrare il tempo in momenti diversi saranno temporalmente separati da un intervallo, che chiameremo $t_0$. La trasformazione matematica che connette gli orologi dei due diversi osservatori sarà
\[
t \rightarrow t + t_0
\]
Essendo $t_0$ una costante, le equazioni restano invariate dopo una tale trasformazione. Infatti, la derivata (o variazione) di una costante è nulla per definizione.
Le equazioni del moto di due osservatori, che ne descrivono le rispettive evoluzioni nel tempo (dinamiche), non dipendono dal momento in cui vengono fatti partire gli orologi: la traiettoria di una mela è identica, che cada da un albero nell’Antico Egitto o da un albero nella tenuta di Sir Isaac Newton nel 1687. Ipotizzando che la mela cada dalla stessa altezza, impiegherà lo stesso tempo per toccare il suolo, indipendentemente dal momento storico.
La simmetria delle equazioni del moto sotto traslazioni temporali è la causa della conservazione dell’energia nella teoria di Newton. Per apprezzare questi collegamenti, tuttavia, occorre conoscere bene le basi del calcolo infinitesimale. Non ci addentreremo nella questione, ma ci accontentiamo di dire che la Fisica non dipende dal momento in cui si fa partire l’orologio!
Riflessioni Temporali
L’equazione di Newton è simmetrica anche sotto riflessioni temporali: se invertiamo la direzione del tempo, scambiando passato e futuro, causa ed effetto, le equazioni e la dinamica rimangono inalterate.
Matematicamente, una riflessione temporale consiste nel trasformare t in -t,
\[
t \rightarrow -t
\]
L’equazione di Newton è composta dalla derivata seconda dello spazio nel tempo, quindi, cambiare il segno due volte è equivalente a mantenere le equazioni simmetriche.
Di conseguenza, i sistemi che rispondono ad una dinamica puramente Newtoniana non distinguono passato e futuro. Immaginiamo di riavvolgere il nastro del filmato di una mela che cade, in assenza di riferimenti è impossibile distinguere se la mela stia cadendo o risalendo.
Tenendo conto dell’ambiente, svolgendo quindi una trattazione termodinamica e introducendo altre equazioni, è possibile distinguere una direzione del tempo, in quanto la mela, dissipata tutta l’energia dopo essere precipitata a terra, ad un certo punto si fermerà.
Le equazioni di Newton sono simmetriche sotto traslazioni e riflessioni temporali. Ciò comporta che i sistemi soggetti all’equazione di Newton non distinguono un’origine e una direzionalità del tempo: passato e futuro coincidono.
Non ci resta che scoprire perché, a differenza di quanto suggeriscono le equazioni, noi una freccia del tempo la percepiamo eccome!
Prima di procedere, si consiglia lo svolgimento del seguente breve quiz.
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